消防培训通常由应急管理部门管辖。具体来说,消防培训机构需要经过省消防总队的审核、省人力资源和社会保障厅的批准以及省民政厅的核准登记,并取得相应的办学许可证。此外,公安机关消防机构也参与消防培训的监督管理。